随机过程作业 Chapter4 Markov链

Sheldon M. Ross "Stochastic Processes" 2nd Edition 随机过程（第二版）习题

4.2#

解：

归纳法证之.

① 当 $n=n_k+1$ 时，由 Markov 性立即得

$$P(X_{n_k+1}=j\mid X_{n_1}=i_1,\cdots,X_{n_k}=i_k)=P(X_{n_k+1}=j\mid X_{n_k}=i_k)$$

② 假设 $n=m>n_k+1$ 时成立 $P(X_m=s\mid X_{n_1}=i_1,\cdots,X_{n_k}=i_k)=P(X_m=s\mid X_{n_k}=i_k)$. 考虑 $n=m+1$，取条件于 $X_m$ 的取值，由 Markov 性及归纳假设得

$$\begin{aligned} &P(X_{m+1}=j\mid X_{n_1}=i_1,\cdots,X_{n_k}=i_k)\\ =\,&\textstyle\sum_{s} P(X_{m+1}=j\mid X_m=s,X_{n_1}=i_1,\cdots,X_{n_k}=i_k)\cdot P(X_m=s\mid X_{n_1}=i_1,\cdots,X_{n_k}=i_k)\\ =\,&\textstyle\sum_{s} P(X_{m+1}=j\mid X_m=s)\cdot P(X_m=s\mid X_{n_k}=i_k)\\ =\,&P(X_{m+1}=j\mid X_{n_k}=i_k)\quad(\text{Chapman-Kolmogorov}) \end{aligned}$$

于是原命题成立.

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4.8#

解：

(1) 用 $n_{k}$ 表示第 $k$ 次记录产生的时刻，则 $X_{n_k}=R_k$. 于是 $R_k=r$ 即等价于“$n_k$ 时刻取值为 $r$，且比上一个记录值要大，且两次记录时刻之间的取值均不比上一个记录值大”. 记第 $k$ 次记录与第 $k+1$ 次记录之间间隔 $n_{k+1}-n_k=t$（也即两个记录中间夹 $t-1$ 个值），则取条件于 $t$：

$$\begin{aligned} P\left(R_{k+1}=r\mid R_k=r_0\right)&= \textstyle\sum\limits_{t=1}^\infty P\left(X_{n_{k+1} }=r,\,X_{n_{k+1} }>r_0\,;\,X_{1+{n_k} }\leq r_0,\,X_{2+{n_k} }\leq r_0,\,\cdots,\,X_{t-1+n_{k} }\leq r_0\right)\\ &= \textstyle\sum\limits_{t=1}^\infty P\left(X_l=r,\,X_{l}>r_0\right)\cdot\big[P\left(X_n\leq r_0\right)\big]^{t-1} \end{aligned}$$

当 $r\leq r_0$ 时，显然有 $P\left(X_l=r,\,X_l>r_0\right)=0$；
当 $r>r_0$ 时，原式 $=\textstyle\sum\limits_{t=0}^\infty P\left(X_l=r\right)\cdot\big[P\left(X_n\leq r_0\right)\big]^{t}=P\left(X_l=r\right)\cdot\dfrac{1}{1-P(X_n\leq r_0)}=\dfrac{\alpha_j}{\sum_{m=r_0+1}^{\infty}\alpha_m}$

因此 $\left\{R_k\right\}$ 是 Markov 链，转移概率

$$P\left(R_{k+1}=r\mid R_k=r_0\right)=\begin{cases}0&,\,r\leq r_0\\\dfrac{\alpha_r}{\sum_{m=r_0+1}^{\infty}\alpha_m}&,\,r>r_0\end{cases}$$

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(2) 第 $k+1$ 次记录至第 $k+2$ 次记录的时间间隔显然与且只与第 $k+1$ 次记录的值有关，因此 $\left\{T_k\right\}$ 不是 Markov 链。结合 $\left\{R_k\right\}$ 的 Markov 性可得

$$\begin{aligned} &\quad\,\,P\left(R_{k+1}=r,\,T_{k+1}=t\mid R_k=r_0,\,T_k=t_0\right)\\ &= P\left(R_{k+1}=r,\,T_{k+1}=t\mid R_k=r_0\right)\\ &= \dfrac{P\left(R_{k+1}=r,\,T_{k+1}=t,\,T_k=t_0\mid R_k=r_0\right)\bcancel{P(R_k=r_0)} }{P\left(T_k=t_0\mid R_k=r_0\right)\bcancel{P(R_k=r_0)} }\\ &= \dfrac{P((t\!-\!1)个X\leq r,\,X_l=r>r_0,\,(t_0\!-\!1)个X\leq r_0)}{P((t_0\!-\!1)个X\leq r_0)}\\ &= P((t\!-\!1)个X\leq r,\,X_l=r>r_0) \end{aligned}$$

于是由 (1) 的结论，当 $r \leq r_0$ 时为 $0$，当 $r>r_0$ 时 $=P\left(X_l=r\right)\cdot\big[P\left(X_n\leq r_0\right)\big]^{t-1}=\alpha_r\left(\sum\limits_{m=0}^{r}\alpha_m\right)^{t-1}{}$

因此 $\left\{(R_k,\,T_k)\right\}$ 是 Markov 链，转移概率

$$P\left(R_{k+1}=r,\,T_{k+1}=t\mid R_k=r_0,\,T_k=t_0\right)=\begin{cases}0&,\,r\leq r_0\\\alpha_r\left(\sum\limits_{m=0}^{r}\alpha_m\right)^{t-1}&,\,r>r_0\end{cases}$$

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(3) 由题意，$S_k$ 即第 $k$ 个记录出现的时刻. 欲求 $P(S_{k+1}=s\mid S_k=s_0)$，这个事相当于：

1. $X_1,\cdots,X_{s-1}$ 的最大值出现在前 $s_0$ 个中，即 $\max(X_1,\dots,X_{s-1})=\max(X_1,\dots,X_{s_0})$. 参考习题1.6可得，当变量为连续型时，右侧max括号内每一个数成为左侧最大值的可能性相同，均为 $\dfrac{1}{s-1}$，因此这部分的概率为 $\dfrac{s_0}{s-1}$；
2. $X_s$ 是新的记录值，即 $X_s=\max(X_1,\dots,X_s)$，这里的概率为 $\dfrac1s$.

以上两事件独立，故 $P(S_{k+1}=s\mid S_k=s_0)=\dfrac{s_0}{s-1}\dfrac1s\ (s>s_0)$.

于是 $\left\{S_n\right\}$ 是 Markov 链，转移概率

$$P(S_{k+1}=s\mid S_k=s_0)=\begin{cases}0&,s\leq s_0 \\ \dfrac{s_0}{s(s-1)}&,s>s_0 \end{cases}$$

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4.18#

解：

(1) $X_n$ 可能的取值只能为 $\left[0,N\right]$ 中的整数. 计算 $P(X_{n+1}=x\mid X_n=x_0)$ 时，假设两次统计之间来了 $k$ 个工作（概率为 $\dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^k}{\lambda!}$），按 $x_0$ 分两类讨论：
① $x_0=0$ 时，当 $0\leq k<N$ 时 $X_{n+1}$ 的取值 $x=k$，当 $k\geq N$ 时 $x=N$；
② $0< x_0\leq N$ 时，先从队列中扣除一个工作进行处理，当 $0\leq k < N-x_0$ 时 $X_{n+1}$ 的取值 $x=x_0+k-1$，当 $k\geq N-x_0+1$ 时 $x=N$

将参数由 $k$ 代换为 $x$ 即得转移概率表达式

$$P(X_{n+1}=x\mid X_n=x_0)= \begin{cases} {\dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!} } & x_0=0\,,\quad\quad\ 0\leq x<N \\ \sum\limits_{k=N}^{\infty} {\dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^k}{k!} } & x_0=0\,,\quad\quad\ x=N \\ {\dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^{x-x_0+1} }{(x-x_0+1)!} } & 0< x_0\leq N,\, x_0-1\leq x<N \\ \sum\limits_{k=N-x_0+1}^{\infty} \dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^k}{k!} & 0< x_0\leq N,\, x=N \end{cases}$$

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(2) 先证明该链不可约且正常返：

若 $X_n=0$，则新到达 $k$ 个工作后，$X_{n+1}=\min(k,N)$，由于 Poisson 分布对任意 $k\in \mathbb{N}$ 都有正概率，故对任意 $0\leq x\leq N$，$P(X_{n+1}=x\mid X_n=0)>0$，即状态 $0$ 可以到达所有状态. 另一方面，对任意 $x_0>0$，每天加工一个工作，新到达 $k$ 个工作后，状态转移为$X_{n+1}=\min(x_0-1+k,N)$，特别地若连续有限天 $k=0$，工作数会递减到达状态 $0$. 因此该链不可约，且状态间是正常返的.

再证明该链非周期：

$P(X_{n+1}=0\mid X_n=0)={\rm e}^{-\lambda}>0$，即状态 $0$ 可以在一步内返回自身，因此周期为 1. 由互通状态周期一致，该链周期为 1，故该链非周期.

因此该链是遍历的.

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(3) 平稳概率方程 $\left\{\begin{aligned}\pi_j= \sum\limits_i&\pi_iP_{ij}\\\sum\limits_{i=0}^N \pi_i=&\,1\end{aligned}\right.$. 由 (1) 中的分类，当 $j<N$ 时

$$\begin{aligned} \pi_j=\sum\limits_{i=0}^N \pi_i P_{ij}&= \pi_0 \cdot \frac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^j}{j!}+\sum\limits_{i=1}^N \pi_i P_{ij} \\ &= \pi_0\cdot{ \frac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^j}{j!}+\sum\limits_{i=1}^{j+1} \pi_i P_{ij} }\\ & =\pi_0 \cdot\frac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^j}{j!}+\sum\limits_{i=1}^{j+1}\pi_i\cdot\frac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^{j-i+1} }{(j-i+1)!} \end{aligned}$$

当 $j=N$ 时，$\pi_N=\sum\limits_{i=0}^N \pi_i P_{i N}=\pi_0 \sum\limits_{i=N}^{\infty}\dfrac{ {\rm e}^{-\lambda}\lambda^i}{i!}+\sum\limits_{i=1}^N \pi_i\left(\sum\limits_{i=N-i+1}^{\infty} \dfrac{ {\rm e}^{-\lambda} \lambda^i}{i!}\right)$

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4.23#

解：

由例题4.4A，从本金 $i$ 出发最终赢到 $N$ 的概率 $f_i=\begin{cases}\dfrac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N}&,p\neq\dfrac12\\\dfrac iN&,p=\dfrac12\end{cases}{}$

于是

$$\begin{aligned} P(\text{下一局赢} \mid 从\ i\ 开始赢到\ N)&= \dfrac{P(从\ i\ 开始赢到\ N\mid\text{下一局赢})\cdot P(下一局赢)}{P(从\ i\ 开始赢到\ N)}\\ &= \dfrac{P(从\ i+1\ 开始赢到\ N)\cdot P(下一局赢)}{P(从\ i\ 开始赢到\ N)}\\ &= \dfrac{p\cdot f_{i+1} }{f_i}\\ \end{aligned}$$

因此当 $p\neq\dfrac12$ 时，$\dfrac{p\cdot f_{i+1} }{f_i}= \dfrac{p{(1-(q/p)^{i+1})} }{ {1-(q/p)^i} }$；当 $p=\dfrac12$ 时，$\dfrac{p\cdot f_{i+1} }{f_i}= \dfrac12\dfrac{i+1}{i}=\dfrac{i+1}{2i}{}$

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