看起来很抽象很难。但是，如果只是想把考试题做对，只需要知道1 个事实 、2 个公式 、3 个模型 。
一个事实：同时性的相对性
两个公式：
钟慢效应：Δ t ′ = Δ t 1 − u 2 / c 2 \Delta t'=\dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-u^2/c^2}} Δ t ′ = 1 − u 2 / c 2 Δ t
尺缩效应：Δ x ′ = Δ x ⋅ 1 − u 2 / c 2 \Delta x'=\Delta x\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} Δ x ′ = Δ x ⋅ 1 − u 2 / c 2
三个模型：飞翔米尺问题、火车刻刀问题、追光问题
1 钟慢与尺缩#
只给结论和理解方式。推导很简单，这里不写了，任何一本近代物理课本中都应该会有。
曰：你相对于我以速度 u u u 你 的坐标系下的同一个地点 先后发生了两个事件，你 测量这两个事件的时间间隔为 Δ t \Delta t Δ t 我 看来，这两件事发生的时间间隔比 Δ t \Delta t Δ t 长 ，长多少呢：
Δ t ′ = Δ t 1 − u 2 / c 2 \Delta t'=\dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-u^2/c^2}} Δ t ′ = 1 − u 2 / c 2 Δ t
这里我忽略掉了固有时和运动时的概念，事实上这种理解是错误的。但我这里不提这个事，是因为容易把自己绕进去。不影响做题。
曰：你相对于我以速度 u u u 你 的坐标系里一段长 Δ x \Delta x Δ x 我 看来，这段尺子会变短 ，短多少呢：
Δ x ′ = Δ x ⋅ 1 − u 2 / c 2 \Delta x'=\Delta x\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} Δ x ′ = Δ x ⋅ 1 − u 2 / c 2 说得更加一般：一个坐标系一旦相对我动起来，在我看来它的刻度就会缩起来。比如原本刻度 1 的地方，在我这里对应的位置是 0.8，原本刻度 2 的地方，在我这里的对应的位置是 1.6。
同样的，这里其实也有一个固有长度和运动长度的概念，同样不提这个事，不影响做题。
2 同时性的相对性#
“光速不变”在我这里并不算一个“事实”。因为光知道一个光速不变，对做题没什么帮助。
同时性的相对性主要包括两个事情。
同一个参考系内可以定义同步钟，只有同一参考系的同时才是真正意义的同时 。我们在坐标的每一个刻度处都放一个钟，而且全部调成同步，称为一列同步钟。例如地面系，它是一个参考系，在这个参考系中，我们定义了“北京时间”。将全国的钟都按照北京时间调准，那么当授时中心的钟指向 11:45:14 的这一刻，全国的钟都会指向 11:45:14 的这一刻；某事件 a 于北京时间 11:45:14 这一刻在 A 地发生，某事件 b 于北京时间 11:45:14 这一刻在 B 地发生，这两个事件在地面系看来，就是同时发生的。这个同时是真正的同时，和一般认知是一致的。观察相对于我运动的参考系中的同步钟，运动前方的钟滞后，运动后方的钟超前，简称“前滞后超” 。也即坐标系相对于我运动起来之后，我看到的同步钟不再同步。怎么个不同步法呢，前滞后超。
同时性的相对性，说的就是这个事情，也即我的同时和你的同时是不一样的 。如何直观理解这个事：
一列长 l l l u u u
但是在地面参考系的我看来，向车头发送的光子与车头同向运动、向车尾发送的光子与车尾相向运动。由于光速不变，事件 H 发生所需的时间就长了一些、事件 T 发生所需的时间就短了一些。这就是“前滞后超”的原因。
那么具体相差了多少时间呢：首先，由于尺缩，从地面系看火车长度为 l ′ = l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l'=l \cdot \sqrt{1-u^2/c^2} l ′ = l ⋅ 1 − u 2 / c 2
对于往车头发送的光子有 l ′ / 2 = c t H − u t H ⇒ t H = l ′ / 2 c − u l'/2=ct_H-ut_H \Rightarrow t_H=\dfrac{l'/2}{c-u} l ′ /2 = c t H − u t H ⇒ t H = c − u l ′ /2
对于往车尾发送的光子有 l ′ / 2 = c t T + u t T ⇒ t T = l ′ / 2 c + u l'/2=ct_T+ut_T \Rightarrow t_T=\dfrac{l'/2}{c+u} l ′ /2 = c t T + u t T ⇒ t T = c + u l ′ /2
因此在我 看来，这两个事件时间差为 t H − t T = l ′ u c 2 − u 2 = l u ⋅ 1 − u 2 / c 2 c 2 − u 2 = l u / c 2 1 − u 2 / c 2 t_H-t_T=\dfrac{l'u}{c^2-u^2}=\dfrac{lu\cdot \sqrt{1-u^2/c^2}}{c^2-u^2}=\dfrac{lu/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} t H − t T = c 2 − u 2 l ′ u = c 2 − u 2 l u ⋅ 1 − u 2 / c 2 = 1 − u 2 / c 2 l u / c 2
这两个事件在你 那里是同时发生的，但由于两件事间隔了 l l l 我 这里产生了 l u / c 2 1 − u 2 / c 2 \dfrac{lu/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} 1 − u 2 / c 2 l u / c 2 你 那里 l u / c 2 lu/c^2 l u / c 2
在你 的参考系中有一列同步钟。在我 看来，你 那里相隔 l l l 你 那里 l u c 2 \dfrac{lu}{c^2} c 2 l u
3 三个模型#
3.1 飞翔米尺问题#
一个长 l l l u u u
答 ： l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} l ⋅ 1 − u 2 / c 2 我都不好意思管这玩意叫一个模型，因为这只不过是把尺缩重新说了一遍 。
同类题：
一个长 l l l u u u
答 ：我看火车，火车相当于一个飞翔米尺，那么我看到火车的长度变成 l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l u ⋅ 1 − u 2 / c 2 \dfrac lu\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} u l ⋅ 1 − u 2 / c 2
一艘飞船要飞往与地球相距 l l l u u u
答 ：想象地球上伸出去一根长 l l l u u u l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} l ⋅ 1 − u 2 / c 2 l u ⋅ 1 − u 2 / c 2 \dfrac lu\cdot\sqrt{1-u^2/c^2} u l ⋅ 1 − u 2 / c 2
某个粒子以速度 u u u l l l
答 ：
先说正确的理解 ：以 l = 52 m l=52\rm{\,m} l = 52 m u = 0.6 c u=0.6c u = 0.6 c 52 m 52\rm{\,m} 52 m 52 m 52\rm{\,m} 52 m l × 1 − u 2 / c 2 = 52 × 0.8 = 41.6 m l\times\sqrt{1-u^2/c^2}=52\times0.8=41.6\rm{\,m} l × 1 − u 2 / c 2 = 52 × 0.8 = 41.6 m l u ⋅ 1 − u 2 / c 2 \dfrac lu \cdot\sqrt{1-u^2/c^2} u l ⋅ 1 − u 2 / c 2
然后再谈谈错误的理解 ：飞行了 l ′ l' l ′ l ′ = l 1 − u 2 / c 2 l'=\dfrac{l}{\sqrt{1-u^2/c^2}} l ′ = 1 − u 2 / c 2 l l / u 1 − u 2 / c 2 \dfrac{l/u}{\sqrt{1-u^2/c^2}} 1 − u 2 / c 2 l / u
错因 ：“我看你的长度”，必须是你那里一个实际的尺子给我看，也就是说“尺子的头”和“尺子的尾”在我的视角下是同时看到的。我的视角的某一瞬间，尺子的头在它自己参考系下的坐标为 x 1 x_1 x 1 y 1 y_1 y 1 x 2 x_2 x 2 y 2 y_2 y 2 y 2 − y 1 y_2-y_1 y 2 − y 1 x 2 − x 1 x_2-x_1 x 2 − x 1 x 1 x_1 x 1 y 1 y_1 y 1 x 2 x_2 x 2 y 2 y_2 y 2 52 m 52\rm{\,m} 52 m
基于这个错解，错误的辩解方式是 ：既然没有实际的尺子，我就用大棒子的思想，也即一个粒子后面拖着一个 l 0 = 52 m 1 − u 2 / c 2 l_0=\dfrac{52 \rm{\,m}}{\sqrt{1-u^2/c^2}} l 0 = 1 − u 2 / c 2 52 m 52 m 52\rm{\,m} 52 m
答案是否定的 。因为这相当于用大棒子前端的钟标记出生时间、用大棒子末端的钟标记死亡时间。由于前滞后超，出生时间偏早、死亡时间偏迟，减一下肯定时间偏长。偏长了多少呢：l 0 u c 2 = l u / c 2 1 − u 2 / c 2 \dfrac{l_0u}{c^2}=\dfrac{lu/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} c 2 l 0 u = 1 − u 2 / c 2 l u / c 2
3.2 火车刻刀问题#
一句话：同时发生的事件，事件之间的空间间隔就是运动长度
3.3 追光问题#
刚才提到的问题，都是两个坐标系贴在一起相对滑动、问坐标重合处之间的关系。而追光问题，则要考虑光在两个参考系之间传播需要的时间。实际上就是反映同时性的相对性的题。
飞船以速度 u = 0.6 c u=0.6c u = 0.6 c 40 s 40\rm{\,s} 40 s
一颗星以 0.6 c 0.6c 0.6 c 5 s 5\rm{\,s} 5 s
4 Lorentz 变换#
做题的时候，全部想象成刚才的三个模型来做题。公式不建议直接背 除非很明确地给出了各个量的参考系和意义
设惯性系 S ′ S' S ′ S S S v v v t = t ′ = 0 t=t'=0 t = t ′ = 0 γ = 1 1 − v 2 / c 2 \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} γ = 1 − v 2 / c 2 1
5 速度变换式#
6 相对论质能关系#
看一个动起来的东西质量会变大。m = m 0 1 − u 2 / c 2 m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} m = 1 − u 2 / c 2 m 0 m 0 m_0 m 0 m m m
动量公式 p = m u p=mu p = m u m m m
一个有质量的物体本身就具有能量，E = m c 2 E=mc^2 E = m c 2 E = m c 2 E=mc^2 E = m c 2
当这个东西与我没有相对运动时，E 0 = m 0 c 2 E_0=m_0c^2 E 0 = m 0 c 2
当这个东西与我有相对运动时，它不仅有因质量带来得能量 E 0 = m 0 c 2 E_0=m_0c^2 E 0 = m 0 c 2 E = m c 2 + E k E=mc^2+E_k E = m c 2 + E k E k = m c 2 − m 0 c 2 E_k=mc^2-m_0c^2 E k = m c 2 − m 0 c 2 E k E_k E k
E k = m c 2 − m 0 c 2 = m c 2 ( 1 − 1 − u 2 / c 2 ) ∼ m c 2 ( 1 − ( 1 − 1 2 u 2 / c 2 ) ) = m c 2 1 2 u 2 c 2 = 1 2 m u 2 \begin{aligned}E_k&=mc^2-m_0c^2\\&=mc^2\left(1-\sqrt{1-u^2/c^2}\right)\\&\sim mc^2\left(1-\left(1-\dfrac12u^2/c^2\right)\right)\\&=mc^2\dfrac12\dfrac{u^2}{c^2}=\dfrac12mu^2\end{aligned} E k = m c 2 − m 0 c 2 = m c 2 ( 1 − 1 − u 2 / c 2 ) ∼ m c 2 ( 1 − ( 1 − 2 1 u 2 / c 2 ) ) = m c 2 2 1 c 2 u 2 = 2 1 m u 2
能量与动量的关系：E E E m 0 c 2 m_0c^2 m 0 c 2 p c pc p c E 2 = ( m 0 c 2 ) 2 + ( p c ) 2 E^2=\left(m_0c^2\right)^2+\left(pc\right)^2 E 2 = ( m 0 c 2 ) 2 + ( p c ) 2
动能与动量的关系：E k 2 + 2 m 0 c 2 E k = p 2 c 2 E_k^2+2m_0c^2E_k=p^2c^2 E k 2 + 2 m 0 c 2 E k = p 2 c 2
一些常见的数据要记的
1 eV = 1.6 × 10 − 19 J 1 \text{ eV}=1.6\times10^{-19}\text{ J} 1 eV = 1.6 × 1 0 − 19 J 电子的静止质量 9.1 × 10 − 31 kg 9.1\times10^{-31}\text{ kg} 9.1 × 1 0 − 31 kg
电子的静止能量 0.51 MeV 0.51\text{ MeV} 0.51 MeV
